Aumento de Contraste e Equalização de Histograma

O histograma de uma imagem digital com $L$ possíveis níveis de intensidades em um intervalo $[0,G]$ é definido como a seguinte função discreta

$$ h(r_k) = n_k $$

onde $r\_k$ é o $k-esimo$ nível dentro do intervalo $[0,G]$ e $n\_k$ é o número de pixels na imagem cuja intensidade é $r_k$ . Geralmente o valor $G$ é $255$ , pois quase sempre trabalhamos com imagens em escalas de 8 bits. Contudo, esse valor pode ser $65535$ para imagens de 16 bits, $1.0$ para alguma representação de imagens que utiliza ponto flutuante, etc.

Muitas vezes precisamos trabalhar com histogramas normalizados, que são obtidos simplesmente dividindo-se todos elementos de $h(r_k)$ pelo número total de pixels na imagem. Denotaremos essa transformação da seguinte maneira:

$$ p(r_k) = \dfrac{h(r_k)}{n} = \dfrac{n_k}{n} $$

onde, $k=0,1,2,\ldots, L-1$ . Dessa formulação é fácil reconhecer que $p(r\_k)$ é uma estimativa probabilística da ocorrência do nível de intensidade $r_k$.

Assumindo que os níveis de intensidades sejam quantidades contínuas e normalizadas no intervalo $[0,1]$ , e chamando de $p_r(r)$ a função densidade de probabilidade dos níveis. Supondo que realizamos a seguinte transformação dos níveis da imagem original para obter os níveis processados:

$$ s = T(r) = \int_0^r p_r(w) dw $$

onde $w$ é uma variável de integração qualquer. A função densidade de probabilidade dos níveis processados serão uniformes, isto é,

$$
p_s(s) = \left\{
\begin{array}{lcl}
1 & ~ & 0 \leq s \\
0 & ~ & otherwise
\end{array}
\right.
$$

Como imagens são quantidades discretas, nós trabalhamos com histogramas e realizamos a operação de equalização. Ou seja, realizamos o processo acima, mas sem considerarmos uma distribuição contínua. Assim, ao invés de utilizarmos a função densidade de probabilidade, trabalhamos com as probabilidades extraídas das ocorrências contadas no histograma:

$$ s_k = T(r_k) = \sum_{j=0}^{k} p_r(r_j) = \sum_{j=0}^{k} \frac{n_j}{n} $$

para $k = 0, 1, 2, \ldots, L-1$ , onde $s\_k$ é o valor de intensidade na saída, correspondendo ao valor da imagem original $r\_k$ . Este processo é implementado na seguinte função:

def histeq(arr):
    """ Enhance contrast using histogram equalization
USAGE:
        [equalized] = histeq(arr)

INPUT:
    * arr: to be balanced

RETURN:
    * equalized: balanced

AUTHOR:
    * Pedro Garcia [sawp@sawp.com.br], http://www.sawp.com.br

LICENSE:
    * Creative Commons
      http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.5/br/"""

    (hist, bin_edges) = histogram(arr.flatten(), 256, normed=True)
    cumsum_along_axis = hist.cumsum()
    cumsum_along_axis = 255.0 * cumsum_along_axis / cumsum_along_axis[-1]
    y = interp(arr.flatten(), bin_edges[:-1], cumsum_along_axis)
    y = y.reshape(arr.shape)
    return y

Como resultado, a transformação gera uma imagem em que os níveis de intensidade são igualmente distribuídos dentro do intervalo $[0,1]$ . O resultado visual desta operação é uma imagem com maior contraste, conforme podemos visualizar nas figuras abaixo.

</p>

Original (parâmetro)	Equalizada (retorno)

</center>