3.1.1 Aproximação de Funções — Interpolação — Introdução

1. Introdução

Ajuste de curvas consiste na principal área de estudos de Métodos Computacionais. O motivo disso está no fato de usarmos computadores para processarmos informações a partir de entradas finitas. Ou seja, os dados de entrada em uma máquina finita são fornecidos em um conjunto finito e discreto de valores que são obtidos de um contínuo de possibilidades. Todavia, para reconstruirmos a informação do mundo real — de onde vêm este contínuo — precisamos fazer estimativas em pontos que estão entre os pontos discretos. Existem diversas técnicas para fazermos tais estimativas, que são explicadas nos artigos que se seguem.

Assim como o ajuste de curvas é o principal tema em Métodos Computacionais, técnicas de interpolação é o assunto mais importante na aproximação de funções. Isso ocorre porque toda técnica de ajuste de curvas é uma forma de interpolação: dados um conjunto discreto de pontos que delimitam um intervalo, o método transforma estes parâmetros em uma curva contínua. Além disso, observamos que os métodos de interpolação estão fortemente relacionados com outros temas de métodos computacionais. Embora a abordagem dos livros modernos de análise numérica não relacionem tão profundamente interpolação com outras áreas, sua importância e utilidade são grandes para o entendimento de diversos métodos computacionais (tais como derivação e integração numérica).

 

2. Interpolação

Supondo que um problema é modelado por função contínua conhecida $f(x)$ e pudemos obter um conjunto de pontos discretos a partir de um experimento. Chamaremos estes valores amostrados de pontos tabulares. O objetivo da interpolação é estimar valores da função $f(x)$ que não pertençam aos valores tabulares, mas que os utilizem para ajustar os parâmetros da função.

Nossa abordagem nos próximos artigos será de aproximar esta função $f(x)$ por outra $y(x)$ que, com a utilização dos pontos tabulares, retornará os mesmos valores do modelo teórico — $f(x)$ — adicionados de um erro numérico associado $E(x)$ . Isto é,

$$ f(x) = \sum_{j=1}^{n} l_j(x)f(a_j) + E(x) = y(x) + E(x) $$

ou, em notação geral

$$ f(x) = \sum_{j=1}^{n}\sum_{i=0}^{m_j}A_{ij}(x) f^{(i)}(a_j) + E(x) $$

Então, nosso objetivo é encontrar funções $y(x)$ que aproximem $f(x)$ , minimizando o erro associado:

$$ E(a_j) = 0 $$

onde $a_j$ são os pontos tabulares, ou valores conhecidos.

Além disso, os métodos de interpolação devem determinar $l\_j(x)$ para que satisfaça $E(x) \neq 0$ com o menor erro associado para os valores não-tabulares $x \neq a\_j, j=1,2,\ldots, n$ .

 

3. Copyright

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References

[1] Anthony Ralston and Philip Rabinowitz, A First Course in Numerical Analysis (2nd ed.), McGraw-Hill and Dover, (2001), 423-424.

[2] N.B Franco, Cálculo Numérico, Pearson Prentice Hall, (2006), 69.