6.1.6 Equações Diferenciais Ordinárias — Métodos de Runge-Kuta — Runge-Kuta Clássico (Quarta Ordem)
Os métodos de Runge-Kuta mais utilizados são variantes do método de quarta ordem. Como nos casos apresentados nos posts sobre RK de segunda e terceira ordem, há um número infinito de métodos para . Uma fórmula muito encontrada e, por isso, conhecida como “método de Runge-Kuta clássico”, é:
onde
$$ k_1 = f(x_1, y_1) $$
$$k_2 = f(x_i + \frac{1}{2} h, y_i + \frac{1}{2} k_1 h) $$
$$k_3 = f(x_i + \frac{1}{2} h, y_i + \frac{1}{2} k_2 h) $$
e
$$k_4 = f(x_i + h, y_i + k_3 h) $$
Dessas equações, notamos que o método de Runge-Kuta de quarta ordem clássico usa a regra de Simpson, sendo uma abordagem semelhante à de Heun, uma vez que são desenvolvidas múltiplas estimativas da inclinação para se chegar a uma inclinação melhorada do intervalo. Isso é, conforme comentado no post sobre o RK de segunda ordem, cada um dos ‘s representa uma inclinação, o que faz com que
seja uma média ponderada dessas inclinações.
1. Implementação
def ralston4order(f, x, y, h):
k1 = f(x, y)
k2 = f(x + 0.5 * h, y + 0.5 * k1 * h)
k3 = f(x + 0.5 * h, y + 0.5 * k2 * h)
k4 = f(x + h, y + k3 * h)
y1 = y + (1. / 6.) * (k1 + 2 * k2 + 2 * k3 + k4) * h
x1 = x + h
return (x1, y1)
Um exemplo de utilização dessa função pode ser obtido em http://www.sawp.com.br/code/ode/runge_kuta_order_4.py.
2. Copyright
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