Os Polinômios de Legendre, também conhecidos como coeficientes de Legendre, são os elementos de um conjunto formado pelas soluções da equação diferencial de Legendre. Os primeiros polinômios de Legendre são:

</p>
n $$P_n(x)\,$$
$$1\,$$
1 $$x\,$$
2 $$\begin{matrix}\frac12\end{matrix} (3x^2-1) \,$$
3 $$\begin{matrix}\frac12\end{matrix} (5x^3-3x) \,$$
4 $$\begin{matrix}\frac18\end{matrix} (35x^4-30x^2+3)\,$$
5 $$\begin{matrix}\frac18\end{matrix} (63x^5-70x^3+15x)\,$$
6 $$\begin{matrix}\frac1{16}\end{matrix} (231x^6-315x^4+105x^2-5)\,$$
7 $$\begin{matrix}\frac1{16}\end{matrix} (429x^7-693x^5+315x^3-35x)\,$$
8 $$\begin{matrix}\frac1{128}\end{matrix} (6435x^8-12012x^6+6930x^4-1260x^2+35)\,$$
9 $$\begin{matrix}\frac1{128}\end{matrix} (12155x^9-25740x^7+18018x^5-4620x^3+315x)\,$$
10 $$\begin{matrix}\frac1{256}\end{matrix} (46189x^{10}-109395x^8+90090x^6-30030x^4+3465x^2-63)\,$$

</center>

Esses polinômios podem ser gerados pela seguinte fórmula recursiva:

</p>
$$P_0(x) = 1$$
$$P_1(x) = x$$
$$(n+1) P_{n+1}(x) = (2n+1) x P_n(x) – n P_{n-1}(x)$$

</center>
ou pela seguinte definição explícita:

$$P_n(x) = \sum_{k=0}^n a_k \cdot x^k$$

onde o coeficiente do polinômio $$a_n$$ é
$$a_k = 2^n \cdot \binom{n}{k} \cdot \binom{\frac{n+k-1}2}{n}$$

Os primeiros polinômios de Legendre são ilustrados no gráfico abaixo

numerical

Implementação 

def compute_legendre_polynomials_coeficients(n):
    """
    Compute the coefficients of the nth Legendre polynomial.

    [coefficients] = compute_legendre_polynomials_coeficients(n)

    INPUT:
      * n: order of the Legendre polynomial

    return: a list containing the polynomial coefficients of nth Legendre
            polynomial (ordered from the highest to lowest)

    Author: Pedro Garcia [sawp@sawp.com.br]
    see: http://www.sawp.com.br

    License: Creative Commons
             http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.5/br/

    Jul 2012
    """
    b = 2.0 ** n
    B = binomial_coefficients
    a = [b * B(n, k) * B((n + k - 1) / 2.0, n) for k in xrange(0, n + 1)]
    a.reverse()
    return a

Disponível para download em http://www.sawp.com.br/code/misc/legendre_coefficients_generator.py

 

Copyright

</p>

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References

[1] http://mathworld.wolfram.com/LegendrePolynomial.html
</fieldset>