1. A Transformada Integral de Fourier

A série de Fourier — detalhada em outro post — é uma útil ferramenta de modelagem e análise do espectro de uma função periódica. Contudo, existem muitos fenômenos em que as ondas não se repetem regularmente. A alternativa para modelagem de tais fenômenos consiste em criar uma série de Fourier para ondas não-periódicas.

A integral de Fourier é o principal recurso para criar tal modelo. Ela pode ser deduzida a partir da versão complexa da série de Fourier.

$$ f(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} c_k e^{i k \omega_0 t}$$

onde

$$ c_k = \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} f(t) e^{-i k \omega_0 t} dt $$

e onde e

A transição de uma função periódica em outra não-periódica pode ser feita permitindo-se que o período tenda ao infinito. Isto é, quando se torna infinitamente grande, a função não se repete, e, assim, torna-se não-periódica. Se isso ocorre, temos que a série de Fourier se reduz a

$$f(t) = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(i \omega_0) e^{i \omega_0 t} d\omega_0 $$

e os coeficientes se tornam uma função no contínuo da variável de frequência ,

$$F(i \omega_0) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i \omega_0 t} dt$$

A função , definida acima, é chamada de transformada integral de Fourier de . A função , por outro lado, é chamada de transformada inversa de Fourier de . Esse par de funções nos permite transformarmos os espaços relativos aos domínios de tempo para o domínio de frequência e vice-versa.

A diferença entre a transformada e a série de Fourier reside na classe de funções em que elas são aplicadas. Enquanto a série de Fourier modela bem funções periódicas, a transformada modela as formas de funções não-periódicas. Além disso, ambas se diferem na forma como se movimentam pelos espaços de tempo e frequência. A série converte uma função definida no contínuo, periódica no domínio do tempo, para amplitudes no domínio da frequência em frequências discretas. Por outro lado, a transformada de Fourier converte uma função no contínuo no domínio do tempo em uma função no domínio da frequência. Desta forma, o espectro de frequência discreto gerado pela série de Fourier é análogo ao espectro contínuo gerado pela transformada de Fourier.

 

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References

[1] Anthony Ralston and Philip Rabinowitz, A First Course in Numerical Analysis (2nd ed.), McGraw-Hill and Dover, (2001).
[2] N.B Franco, Cálculo Numérico, Pearson Prentice Hall (2006).
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