3.2.2 Aproximação de Funções — Análise de Fourier — A Série de Fourier
1. A Série de Fourier </p>
Fourier desenvolveu uma técnica para aproximação de funções periódicas quaisquer através de uma série infinita de funções trigonométricas com frequências harmonicamente relacionadas. Para uma função de período , a chamada série de Fourier é
$$f(t) = a_0 + a_1 cos(\omega_0 t) + b_1 sin(\omega_0 t) + a_2 cos(2 \omega_0 t) + b_2 sin(2 \omega_0 t) + \cdots $$
ou, em termos gerais
$$f(t) = a_0 + \sum_{k=1}^{\infty}[a_k cos(k \omega_0 t) + b_k sin(k \omega_0 t)] $$
onde é denominada frequência fundamental e os seus múltiplos , , , são denominados harmônicos. Portanto, a série de fourier nada mais é do que uma combinação linear de base
Para determinar os coeficientes das bases, vamos integrar a série de Fourier dentro do período de oscilação . Assim, temos
$$\int_0^T f(t) dt = \int_0^T a_0 dt + \int_0^T \sum_{k=1}^{\infty}[a_k cos(k \omega_0 t) + b_k sin(k \omega_0 t)] dt $$
Como todos os termos da somatória acima estão na forma de senos e cossenos apenas, e sabendo que
$$\int_0^T sin(k \omega_0 t) dt = \int_0^T cos(k \omega_0 t) dt = 0 $$
a equação se torna apenas
$$\int_0^T f(t) dt = a_0 T $$
que nos fornece como resolução o valor do coeficiente
$$a_0 = \dfrac{\int_0^T f(t) dt}{T} $$
Ou seja, é o valor médio da função sobre o período.
Para calcularmos os coeficientes do cossenos, multiplicamos a série de Fourier por e integramos, como no processo acima:
$$\int_0^T f(t) cos(k \omega_0 t) dt = \int_0^T a_0 cos(k \omega_0 t) dt + \int_0^T \sum_{k=1}^{\infty}[a_k cos(k \omega_0 t) + b_k sin(k \omega_0 t)] cos(k \omega_0 t) dt $$
Esta integral nos fornece a expressão geral para determinarmos os coeficientes das bases em cosseno:
$$a_k = \dfrac{2}{T} \int_0^T f(t) cos(k \omega_0 t) dt $$
onde .
De forma análoga, podemos calcular os coeficientes das bases em seno como
sendo:
$$b_k = \dfrac{2}{T} \int_0^T f(t) sin(k \omega_0 t) dt $$
1.1. A Série de Fourier na Forma Complexa
Como a série de Fourier é composta por senos e cossenos, é possível colocá-la na forma de exponenciais complexas. Isto é,
$$f(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} c_k e^{i k \omega_0 t} $$
onde é o número imaginário e é
$$c_k = \dfrac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} f(t) e^{-i k \omega_0 t} dt $$
2. Copyright
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