3.2.1 Aproximação de Funções — Análise de Fourier — Introdução
1. Aproximação de Fourier
Cientistas de diversas áreas trabalham com modelos de sistemas oscilatórios. Nesses contextos, as funções trigonométricas desempenham um papel fundamental na modelagem matemática. A aproximação de Fourier consiste em um esquema sistemático para usar séries trigonométricas com esse propósito. A análise de Fourier é desenvolvida nos espaços vetoriais conhecidos como domínio de frequência e domínio de tempo (ou espaço).
2. Ajuste de Curvas por Funções Trigonométricas
Uma função periódica é descrita como
$$f(t) = f(t + T) $$
onde é uma constante chamada período, que é o menor valor para o qual a Equação acima vale. Em geral, uma função periódica tem a seguinte forma trigonométrica:
$$f(t) = A_0 + C_1 cos(\omega_0 t + \theta) $$
Logo, existem quatro parâmetros que caracterizam a senoide:
- O valor médio , que determina a altura da abscissa;
- A amplitude , que especifica a altura da oscilação;
- A frequência angular , que caracteriza a frequência do ciclo do fenômeno periódico;
- O ângulo de fase , que parametriza a extensão da curva horizontalmente.
A frequência angular, em radianos/tempo, está relacionada com a frequência , em ciclos/tempo, pela seguinte proporção:
$$\omega_0 = 2 \pi f $$
e a frequência está relacionada com o período por
$$f = \dfrac{1}{T} $$
Embora a equação seja uma caracterização adequada para um movimento oscilatório, trabalhar com esta forma pode ser difícil devido ao deslocamento angular . Para simplificar esta forma, utilizamos a seguinte identidade trigonométrica:
$$C_1 cos(\omega_0 t + \theta) = C_1 [cos(\omega_0 t) cos(\theta) – sin(\omega_0 t) sin(\theta)] $$
Ou seja, é aproximada por
$$f(t) = A_0 + A_1 cos(\omega_0 t) + B_1 sin(\omega_0 t) $$
onde e . Portanto,
$$\theta = arctg\left( – \frac{B_1}{A_1} \right) $$
Elevando ao quadrado e somando a relação entre e , temos que
$$C_1 = \sqrt{A_1^2 + B_1^2} $$
Assim, a Equação
$$C_1 cos(\omega_0 t + \theta) = C_1 [cos(\omega_0 t) cos(\theta) – sin(\omega_0 t) sin(\theta)] $$
representa uma formulação alternativa geral em uma forma linear. Esta forma é interessante porque pode ser utilizada em diversas técnicas de ajustes de dados, tais como mínimos quadrados.
3. Copyright
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