1. Interpolação Inversa

Na maioria dos casos de interpolação, os valores de f(x) e x são as variáveis dependente e independente, respectivamente. O problema da interpolação inversa consiste em utilizar os mesmos dados amostrados para determinar x a partir de f(x).

Nos primeiros tópicos sobre métodos computacionais, apresentamos e discutimos diversos métodos numéricos para solução de equações não-lineares . Uma das aplicações destas técnicas consiste na interpolação inversa.

A abordagem para encontrarmos algum valor de para um dado , portanto, consiste em dois passos. O primeiro deles seria utilizar os valores tabelados para interpolarmos um polinômio de grau . Com isso, teremos uma função aproximada tal que nos permita construir a função tal que . O segundo passo consiste em utilizar algum método numérico de busca de raízes para encontrar tal que .

Por exemplo, supondo que obtemos os três pontos da amostra: . Utilizando interpolação polinomial, podemos ajustar estes dados ao seguinte polinômio:

$$ f_2(x) = 0.04 x^2 – 0.37x + 1.08 $$

Agora presumindo que desejamos obter o valor de quando . Neste caso temos que

$$ 0.30 = 0.04 x^2 – 0.37x + 1.08 $$

subtraindo ambos lados por , teremos tal que

$$ g(x) = f(x) – f(x_i) = (0.04 x^2 – 0.37x + 1.08) – 0.3 = 0.04 x^2 – 0.37x + 0.78 $$

Ao utilizarmos um método numérico para encontrarmos , obtemos que , que é o valor da interpolação inversa.

 

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References

[1] Anthony Ralston and Philip Rabinowitz, A First Course in Numerical Analysis (2nd ed.), McGraw-Hill and Dover, (2001).
[2] N.B Franco, Cálculo Numérico, Pearson Prentice Hall, (2006).
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