1. A Fórmula de Newton-Gregory

Se os dados amostrados forem igualmente espaçados e estiverem em ordem crescente, então a variável independente assume os valores

$$ x_1 = x_0 + h $$
$$ x_2 = x_0 + 2h $$
$$ \vdots $$
$$ x_n = x_0 + nh $$

onde é o intervalo entre os dados. Com base nisso, as diferenças divididas podem ser expressas. Isto é, a segunda diferença dividida progressiva é

$$ f(x_0,x_1,x_2) = \dfrac{\frac{f(x_2) – f(x_1)}{x_2 – x_1} – \frac{f(x_1) – f(x_0)}{x_1 – x_0}{x_2 – x_0} $$

Esta fórmula pode ser simplificada na seguinte expressão:

$$ f(x_0,x_1,x_2) = \dfrac{f(x_2) – 2f(x_1) + f(x_0)}{2h^2} $$

pois . Sabemos que as diferenças finitas de derivadas superiores produzem uma fórmula muito semelhante à esta, sendo:

$$ f”(x_i) = \dfrac{f(x_i) – 2f(x_{i-1}) + f(x_{i-2})}{h^2} + O(h) $$

Ou seja, a segunda diferença progressiva é igual à

$$ \Delta^2f(x_0) = f(x_2) – 2f(x_1) + f(x_0) $$

Portanto, a equação que recebe os parâmetros fica

$$ f(x_0,x_1,x_2) = \dfrac{\Delta^2f(x_0)}{2!h^2} $$

Generalizando esta fórmula para parâmetros (amostras), temos

$$ f(x_0,x_1,\ldots,x_n) = \dfrac{\Delta^n f(x_0)}{n! h^n} $$

Podemos utilizar a última equação acima para expressar o polinômio interpolador para casos em que a amostragem nos fornece dados igualmente espaçados. No caso geral, temos

$$ f_n(x) = f(x_0) + \dfrac{\Delta f(x_0)}{h}(x-x_0) + \dfrac{\Delta^2 f(x_0)}{2!h^2}(x-x_0)(x-x_0-h) + \cdots + \dfrac{\Delta^n f(x_0)}{n!h^n}(x-x_0)(x-x_0-h)\cdots[x-x_0-(n-1)h] + R_n $$

onde o resto é

$$ R_n = \dfrac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} (x_{i+1} – x_i)^{n+1} = \dfrac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} (x-x_0)(x-x_1)\cdots(x-x_n) $$

Essa equação é conhecida como Fórmula de Newton-Gregory. Ela pode ser simplificada ainda mais ao definirmos uma nova variável de relaxação :

$$
\alpha = \dfrac{x-x_0}{h}
$$

Essa definição pode ser usada para deduzir as seguintes expressões simplificadas para os termos na fórmula:


$$x – x_0 = \alpha h $$
$$x – x_0 – h = \alpha h – h $$
$$\vdots $$
$$x – x_0 – (n – 1)h = \alpha h – (n – 1) h = h (\alpha – n + 1) $$

Ou seja, a Fórmula de Newton-Gregory fica:

$$ f_n(x) = f(x_0) + \Delta f(x_0) \alpha + \dfrac{\Delta^2 f(x_0)}{2!} \alpha (\alpha + 1) + \cdots + \dfrac{\Delta^n f(x_0)}{n!} \alpha (\alpha – 1) \cdots (\alpha – n + 1) + R_n $$

Embora a implementação deste método seja equivalente à regressão polinomial simples, esta notação é relevante para dedução e análise de erro de diversas fórmulas de integração numérica.

 

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References

[1] Anthony Ralston and Philip Rabinowitz, A First Course in Numerical Analysis (2nd ed.), McGraw-Hill and Dover, (2001).</p>

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[2] N.B Franco, Cálculo Numérico, Pearson Prentice Hall, (2006).</p>

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